Este artigo irá explorar o que é base ortonormal de uma matriz e como encontrá-las no MATLAB usando o orto() função.
Quais são as bases ortonormais de uma matriz
Na Álgebra Linear, o base ortonormal de um espaço vetorial V tendo uma dimensão finita são a base tendo vetores ortonormais onde o vetores ortonormais são os vetores unitários ortogonais entre si e seu produto escalar é zero.
Considere vetores de duas unidades x e y, eles serão ortogonais entre si se “xy = 0” . Esses dois vetores também são chamados vetores ortonormais .
Por que precisamos calcular a base ortonormal
Uma base ortonormal é útil em termos de encontrar a projeção de um vetor em outro vetor ou encontrar a distância entre os dois vetores. Também podemos usar um base ortonormal para reduzir o erro de arredondamento em nossas simulações e a única razão para isso é que os vetores em uma base ortonormal são independentes uns dos outros, portanto, um erro em um vetor não pode se propagar para outros vetores. Além disso, encontrar coordenadas e realizar transformações lineares é muito mais fácil se a nossa base for ortonormal.
Como encontrar a base ortonormal de uma matriz no MATLAB?
No MATLAB, podemos encontrar o base ortonormal usando o integrado orto() função responsável por determinar o base ortonormal de uma determinada matriz. Esta função aceita uma matriz como parâmetro obrigatório e fornece uma matriz como saída contendo o base ortonormal da matriz de entrada fornecida.
Sintaxe
O orto() A função pode ser implementada no MATLAB através das seguintes sintaxes:
Q = orth ( A,tol )
Aqui,
- A função Q = orto(A) é responsável por determinar o base ortonormal para o intervalo de A onde as colunas da matriz de saída Q representam o base ortonormal da matriz A e eles enviam spam para o intervalo da matriz A. Além disso, a classificação de A é igual à contagem de colunas de Q.
- A função Q = orto(A,tol) é responsável por determinar o base ortonormal para o intervalo de A especificando a tolerância. Os valores singulares da matriz de entrada A, que são menores que a tolerância, são tratados como zero, afetando o número de colunas de Q.
Exemplo 1: Como encontrar a base ortonormal de uma matriz de classificação completa no MATLAB?
Este código MATLAB determina o base ortonormal da matriz quadrada A dada com tamanho n = 3 usando o orto() função. Este código também encontra a classificação de uma matriz A usando o classificação() função para verificar se a matriz de entrada é de classificação completa.
UMA = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = classificação ( A )
Q = orth ( A )
Exemplo 2: Como calcular a base ortonormal de uma matriz com classificação deficiente no MATLAB?
Neste exemplo, usamos o orto() função para encontrar o base ortonormal da matriz A com deficiência de classificação dada. A matriz A é deficiente em classificação porque classificação(K)
r = classificação ( A )
Q = orth ( A )
Exemplo 3: Como encontrar a base ortonormal de uma matriz de classificação completa especificando a tolerância no MATLAB?
O exemplo dado calcula o base ortonormal da matriz quadrada de classificação completa A dada com tamanho n=3 usando o orto() função com tolerância padrão. Como A é uma matriz de classificação completa, o tamanho de A e Q (base ortogonal) é o mesmo, que é 3×3 neste caso. O exemplo então calcula o base ortonormal de A especificando o valor de tolerância 0,5 para considerar os valores de A menores que 0,5 como valores singulares. Existem três valores singulares em A, então A tem dois vetores coluna ortonormais contidos pelo Qtol matriz.
A = rand ( 3 ) ;r = classificação ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0,5 )
Conclusão
Encontrando o base ortonormal de um espaço vetorial é um conceito importante de álgebra linear que é um problema matemático complicado. No entanto, pode ser resolvido de forma fácil e eficiente usando o recurso integrado do MATLAB. orto() função. Este artigo apresentou a implementação desta função usando diferentes sintaxes e exemplos.